رسالة ماجستير في قسم الرياضيات تناقش مسألة كوشي العكسية الهندسية لمعادلة هيلمهولتز المعدلة للطالبة زينب علي منصور

تهدف هذه الدراسة إلى معالجة مسألة معكوس كوشي المتعلقة بمشكلة انتقال الحرارة التي تحكمها معادلة هلمهولتز المعدلة. الهدف هو التأكد من العيب غير المحدد D داخل المجال المحدود Ω المتصل ببساطة.

حيث تم تحقيق ذلك من خلال استخدام بيانات  Dirichlet ( درجة الحرارة) h عند الحد الحدودي ∂D وبيانات نيومان (تدفق الحرارة) ∂_n h عند الحدود ∂ Ω. تتضمن الطريقة المقترحة تقسيم المشكلة إلى مشكلتين فرعيتين.

توصلت الباحثة من خلال الدراسة الى حل الخطوة الأولى لمسألة كوشي باستخدام معادلة هيلمهولتز المعدلة لتحديد درجة الحرارة h.  بعد ذلك، يستخدم توسيع متعدد الحدود للحصول على تقريب قريب للحل، مما يتيح لنا الحصول على المشكلة المباشرة في حل نظام خطي، والتي تتم معالجتها بواسطة خوارزمية CGLS. الخطوة الثانية في حل المعادلة العددية غير الخطية تتضمن تحديد إحداثيات النقاط التي تحدد الحدود باستخدام تقنية تكرارية مثل طريقة نيوتن، وقد تم دراسة معادلة هيلمهولتز المعدلة، مع دراسة أمثلة مختلفة، ويتم تحديد القيمة التقريبية للحد الدقيق بدرجات عالية الدقة لمختلف الحدود (سواء كانت حدود منتظمة أو غير منتظمة ∂D). بالتأكيد، عند النظر في الاختلافات الحدودية المتنوعة وأنواع الحلول الدقيقة المختلفة (بما في ذلك متعدد الحدود وغير متعدد الحدود)، يصبح الحصول على تقدير تقريبي دقيق للقيمة الدقيقة للحدود، يتم تحقيقه باستخدام هندسة تشبه الشكل الدقيق. وبما أن المشاكل العكسية غير مستقرة بطبيعتها، فإن النهج البديل هو إدخال الضوضاء في بيانات كوشي، وبهذه الطريقة يتم التحقق من استقرار الحل.

بينت الدراسة أن درجة الحرارة المشار اليها بـ   ، تحقق معادلة هيلمهولتز المعدلة، والتي تحدد حالة الحرارة في الزعنفة. يتضمن الحل المقترح تقسيم المشكلة الى مشكلتين فرعيتين. المشكلة الفرعية الأولى تتضمن حل مشكلة كوشي من خلال استخدام معادلة هيلمهولتزالمعدلة بهدف تحديد درجة الحرارة . أما المسألة الفرعية الثانية فتتضمن حل سلسلة من المعادلات العددية غير الخطية بهدف التأكد من إحداثيات النقاط الحدودية . ويتم التحقق من ذلك من خلال تطبيق احدى الطرق التكرارية، مثل طريقة نيوتن.